Ли предел у. Есть ли предел инженерным возможностям. Есть ли предел инженерным возможностям

Начнем с общих вещей, которые ОЧЕНЬ важны, но мало кто обращает на них внимание.

Предел функции - основные понятия.

Бесконечность обозначают символом . По сути, бесконечность это есть либо бесконечно большое положительное число , либо бесконечно большое отрицательное число .

Что это означает: когда Вы видите , то не имеет разницы это или . Но лучше не заменять на , равно как и лучше не заменять на .

Записывать предел функции f(x) принято в виде , снизу указывается аргумент x и через стрелочку к какому значению он стремится.

Если представляет из себя конкретное действительное число, то говорят о пределе функции в точке .

Если или . то говорят о пределе функции на бесконечности .

Сам предел может быть равен конкретному действительному числу , в этом случае говорят, что предел конечен .

Если , или , то говорят, что предел бесконечен .

Еще говорят, что предел не существует , если нельзя определить конкретное значение предела или его бесконечное значение (, или ). Например, предел от синуса на бесконечности не существует.

Предел функции - основные определения.

Пришло время заняться нахождением значений пределов функций на бесконечности и в точке. В этом нам помогут несколько определений. Эти определения опираются на числовые последовательности и их сходимость или расходимость .

Определение (нахождение предела функции на бесконечности).

Число А называется пределом функции f(x) при , если для любой бесконечно большой последовательности аргументов функции (бесконечно большой положительной или отрицательной), последовательность значений этой функции сходится к А . Обозначается .

Замечание.

Предел функции f(x) при бесконечен, если для любой бесконечно большой последовательности аргументов функции (бесконечно большой положительной или отрицательной), последовательность значений этой функции является бесконечно большой положительной или бесконечно большой отрицательной. Обозначается .

Пример.

Используя определение предела при доказать равенство .

Решение.

Запишем последовательность значений функции для бесконечно большой положительной последовательности значений аргумента .

Очевидно, что члены этой последовательности монотонно убывают к нулю.

Графическая иллюстрация.

Теперь запишем последовательность значений функции для бесконечно большой отрицательной последовательности значений аргумента .

Члены этой последовательности также монотонно убывают к нулю, что доказывает исходное равенство.

Графическая иллюстрация.

Пример.

Найти предел

Решение.

Запишем последовательность значений функции для бесконечно большой положительной последовательности значений аргумента. К примеру, возьмем .

Последовательность значений функции при этом будет (синие точки на графике)

Очевидно, что эта последовательность является бесконечно большой положительной, следовательно,

А сейчас запишем последовательность значений функции для бесконечно большой отрицательной последовательности значений аргумента. К примеру, возьмем .

Последовательность значений функции при этом будет (зеленые точки на графике)

Очевидно, что эта последовательность сходится к нулю, следовательно,

Графическая иллюстрация

Ответ:

Сейчас поговорим о существовании и нахождении предела функции в точке. Все основывается на определении односторонних пределов . Без вычисления односторонних пределов не обойтись при .

Определение (нахождение предела функции слева).

Число В называется пределом функции f(x) слева при , если для любой сходящейся к а последовательности аргументов функции , значения которых остаются меньше а (), последовательность значений этой функции сходится к В .

Обозначается .

Определение (нахождение предела функции справа).

Число В называется пределом функции f(x) справа при , если для любой сходящейся к а последовательности аргументов функции , значения которых остаются больше а (), последовательность значений этой функции сходится к В .

Обозначается .

Определение (существование предела функции в точке).

Предел функции f(x) в точке а существует, если существуют пределы слева и справа а и они равны между собой.

Замечание.

Предел функции f(x) в точке а бесконечен, если пределы слева и справа а бесконечны.

Поясним эти определения на примере.

Пример.

Доказать существование конечного предела функции в точке . Найти его значение.

Решение.

Будем отталкиваться от определения существования предела функции в точке.

Во-первых, покажем существование предела слева. Для этого возьмем последовательность аргументов , сходящуюся к , причем . Примером такой последовательности может являться

На рисунке соответствующие значения показаны зелеными точками.

Легко видеть, что эта последовательность сходится к -2 , поэтому .

Во-вторых, покажем существование предела справа. Для этого возьмем последовательность аргументов , сходящуюся к , причем . Примером такой последовательности может являться

Соответствующая последовательность значений функции будет иметь вид

На рисунке соответствующие значения показаны синими точками.

Легко видеть, что эта последовательность также сходится к -2 , поэтому .

Этим мы показали, что пределы слева и справа равны, следовательно, по определению существует предел функции в точке , причем

Графическая иллюстрация.

Продолжить изучение основных определений теории пределов рекомендуем темой .

Как быстро может бежать человек? Как высоко и далеко он способен прыгнуть? И есть ли вообще предел физическим возможностям человека или результаты будут расти бесконечно?

Одним из первых над этим вопросом задумался тренер из Калифорнии Брюс Гамильтон, который в 1934 году выступил в роли предсказателя предельных рекордов в легкой атлетике. По его мнению, человек никогда не прыгнет выше рубежа 2 метров 11 сантиметров, а в беге на 100 метров наивысшим результатом будет 10,1 секунды. Большей нагрузки, по мнению Гамильтона, мышцы человека просто не способны выдержать.

В то время мировые рекорды легкоатлетов можно было считать близкими к предельным: на стометровке рекордсменом был американец Р. Меткальф с результатом 10,3 секунды, а результат лучшего прыгуна в высоту составлял 2 метра 6 сантиметров. Такую планку смог преодолеть У. Мартни из США. А значит, спринтеры могли добавить еще 0,2 секунды, а прыгуны – 5 сантиметров. И все – рекорды на этом закончатся? Ничего подобного, через несколько лет все предсказания Гамильтона рухнули.

В конце восьмидесятых физиологи назвали новые рубежи: бег на 100 метров – 9, 58 секунды, прыжки в высоту – 2 метра 56 сантиметров, прыжки в длину – 10 метров 33 сантиметра. А вот для марафонцев была установлена планка в 1 час 58 минут и 22 секунды.

Прошло еще 30 лет, и что мы видим? Мировой рекорд в беге на 100 метров, установленный легендарным Усэйном Болтом, точно повторяет прогноз ученых: на турнире в Берлине 16 августа 2009 года он показал именно такой результат – 9, 58 секунды. Получается, что это был последний мировой рекорд на стометровке?

Несколько лет назад Джон Бренкус, ведущий передачи «Спортивная наука», заявил, что результаты в этой дисциплине будут расти еще очень долго. И даже сделал долгосрочный прогноз – к 2909 году лучшие легкоатлеты мира будут пробегать дистанцию быстрее 9 секунд. Можно только позавидовать практичности Бренкуса – кто же будет помнить о его прогнозах через 900 лет?

В марафонском беге Бренкус также сдвинул планку рекорда, по его расчетам, лучший марафонец всех времен и народов сможет преодолеть дистанцию за 1 час 57 минут и 57 секунд. Сейчас мировой рекорд принадлежит Деннису Кимето из

Кении – 2 часа 2 минуты 57 секунд. Это значит, что есть еше резерв ровно в 5 минут.

В прыжках все немного сложнее. Здесь рекорды явно замедлились, а до максимально обозначенной планки результатам еще расти и расти. Например, в далеком 1993 году кубинец Хавьер Сотомайор взял рубеж в 2 метра 45 сантиметров, и вот уже четверть века никто не может приблизиться к его рекорду.

А в прыжках в длину Боб Бимон на Олимпийских играх 1968 года совершил, как тогда говорили, прыжок в XXI век, улетев на 8 метров 90 сантиметров. До XXI века рекорд, правда, не дотянул – в 1991 году Майк Пауэлл достиг рубежа 8 метров 95 сантиметров. И все, дальше никто не может прыгнуть уже 27 лет. Интересно, что спортсмены, показавшие результаты близкие к достижению Пауэлла, давно завершили свою карьеру.

Пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.

В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.

Понятие предела в математике

Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции, так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала - самое общее определение предела:

Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a , то a – предел этой величины.

Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A , к которому стремится функция при х , стремящемся к определенной точке а . Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.

Звучит громоздко, но записывается очень просто:

Lim - от английского limit - предел.

Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.

Приведем конкретный пример. Задача - найти предел.

Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:

Кстати, если Вас интересуют , читайте отдельную статью на эту тему.

В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:

Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.

Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х . Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность . Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!

Неопределенности в пределах

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность

Пусть есть предел:

Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?

Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:

Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на

Еще один вид неопределенностей: 0/0

Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:

Сократим и получим:

Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.

Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:

Правило Лопиталя в пределах

Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?

Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.

Наглядно правило Лопиталя выглядит так:

Важный момент : предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.

А теперь – реальный пример:

Налицо типичная неопределенность 0/0 . Возьмем производные от числителя и знаменателя:

Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.

Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос "как решать пределы в высшей математике". Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.

Замуж вышла рано, в 18 лет. До этого встречались 3 года. Отношения не были безоблачными, был трения, сложности, расставания, примирения. Но мы приняли решение быть вместе. Отношения продолжали быть сложными, не могу себя похвалить, вела себя как ребенок: капризно, требовательно, мнила себя жертвой в некоторых ситуациях, хотя сейчас понимаю, что не хватало понимания, мудрости и просто на просто любви в наших отношениях. Мы не были готовы к самостоятельной, взрослой жизни, ступили на путь, который был для нас на тот момент слишком сложным. Доход был минимальным, денег катастрофически не хватало особенно с рождением через год нашего первенца.

Муж решил уехать на заработки, устроился, через три месяца мы переехали к нему на съемную квартиру. Месяца 3 были очень счастливы. Потом появились сложности, пришлось переехать в дом без удобств, нервы были на пределе, понимаю мужа сейчас, которому сайт приходилось нелегко. В одной из ссор получила первую оплеуху.

Лет 7 мы скитались по съемным квартирам. Было много всякого. В желании обеспечить семью муж перестал слишком нравственно выбирать работу. Потом стал пропадать сутками, стал пить, погуливать. Избивал пару раз сильно. Потом просил прощения. На время все менялось, потом по новой: гулянки, пьянки, игровые автоматы, полгода в тюрьме. Обещание, что все будет по-другому. Удар в лицо в первый же день выхода из тюрьмы. Я упорно не хотела видеть в любимом человеке монстра. Капризно требовала поменять свою жизнь, не понимая, что корни запрятаны на порядок глубже. Периодические ссоры, примирения, затишья, бури. Было многое.

Почему не уходила? Пыталась, но отказывалось мое сознание видеть в нем чужого человека. Он был родным до одури. Таким порочным и ласковым, зверем и котенком, ангелом и бесом. Не могла я уйти от него, то была боль, сильная, но моя, родная боль. Если бы я еще понимала, что истериками и криками не добиться любви и взаимности… Я, как слепой котенок, металась по жизни клетке, сайт не зная, куда себя деть.

Второй тюремный срок он получил в прошлом году за воровство. Это для меня было ударом. Унижала сама мысль, что отец моих детей – вор. Не могла я смириться с этим. Потом успокоилась, общались по телефону. Вроде как решили, что попробуем восстановить нашу семейную жизнь – отец он замечательный. Потом пропал на 2 месяца. При пересылке в другой лагерь не было возможности общаться.

А я влюбилась, как девочка, как ребенок, несмотря на свои 30 лет. Мне не нравиться характер того человека, не в восторге от его внешности, к тому же он женат второй раз и надежды быть вместе нет и не хочется. Не сможем мы быть вместе. Не хочу разрушать его семью, да и люди мы слишком разные, и не хочу, чтобы мои дети росли с отчимом, когда у них родной отец есть. Было несколько встреч с человеком, который появился в моей жизни. У меня такого не было никогда. Чувства на уровне запаха, ощупи. Какое-то глубокое влечение, желание чтобы он был счастливым, сайт пусть не со мной, но чтобы был. Счастье просто от его улыбки. Сомневаюсь, что он относился ко всему так же.

Первые шаги к сближению сделал он, я не отказала, потому что с первого взгляда поняла, что этот человек будет со мной, будто знала его сто лет. Я не хотела серьезных отношений. Я хотела просто побыть немного счастливой. Эти отношения не имеют четкого начала и конца. Мы не встречаемся сейчас, что будет дальше, не знаю.

Муж вернулся. Хотела развестись, чтобы все было честно. Он остановил меня, объяснил, что многое понял, что мы для него многое значим. Доказал свои слова тем, что отказался от наркотиков (подсел в тюрьме, оказывается, бывает и так). Несколько месяцев не употребляет наркотики (кто-то сейчас подумает, что это не показатель – сама знаю, переживаю по этому поводу), устроился на работу, правда, далеко от нас, старается пересылать нам деньги. И обещает, что все у нас наладиться и все будет хорошо. Я верю, верю в его желание, верю, что все будет хорошо, только чувства уже не сайт те и сердце стучит уже совсем по-другому. Время определит все по своим местам, я не хочу жить во лжи и не хочу причинять никому боль. Я просто хочу быть счастлива, любить и быть любимой.

Моя семья мне очень важна, важно счастье моих детей, которые без ума от папы. А для меня он в любом случае родной и близкий человек. Хороший отец, замечательный любовник. Прошу Бога только об одном – дать ему силы не возвращаться к наркотикам, преступной жизни. Ты мне очень нужен, важен. Ты мой родной человек!