Какая дробь больше если числитель числителя одинаковые. Сравнение чисел. Исчерпывающий гид (2020). Сравнение дробей с одинаковыми числителями
Продолжаем изучать дроби. Сегодня мы поговорим об их сравнении. Тема интересная и полезная. Она позволит новичку почувствовать себя учёным в белом халате.
Суть сравнения дробей заключается в том, чтобы узнать какая из двух дробей больше или меньше.
Чтобы ответить на вопрос какая из двух дробей больше или меньше, пользуются , такими как больше (>) или меньше (<).
Ученые-математики уже позаботились о готовых правилах, позволяющие сразу ответить на вопрос какая дробь больше, а какая меньше. Эти правила можно смело применять.
Мы рассмотрим все эти правила и попробуем разобраться, почему происходит именно так.
Содержание урокаСравнение дробей с одинаковыми знаменателями
Дроби, которые нужно сравнить, попадаются разные. Самый удачный случай это когда у дробей одинаковые знаменатели, но разные числители. В этом случае применяют следующее правило:
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше. И соответственно меньше будет та дробь, у которой числитель меньше.
Например, сравним дроби и и ответим, какая из этих дробей больше. Здесь одинаковые знаменатели, но разные числители. У дроби числитель больше, чем у дроби . Значит дробь больше, чем . Так и отвечаем. Отвечать нужно с помощью значка больше (>)
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццы, которые разделены на четыре части. пиццы больше, чем пиццы:
Сравнение дробей с одинаковыми числителями
Следующий случай, в который мы можем попасть, это когда числители дробей одинаковые, но знаменатели разные. Для таких случаев предусмотрено следующее правило:
Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше. И соответственно меньше та дробь, у которой знаменатель больше.
Например, сравним дроби и . У этих дробей одинаковые числители. У дроби знаменатель меньше, чем у дроби . Значит дробь больше, чем дробь . Так и отвечаем:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццы, которые разделены на три и четыре части. пиццы больше, чем пиццы:
Каждый согласится с тем, что первая пицца больше, чем вторая.
Сравнение дробей с разными числителями и разными знаменателями
Нередко случается так, что приходиться сравнивать дроби с разными числителями и разными знаменателями.
Например, сравнить дроби и . Чтобы ответить на вопрос, какая из этих дробей больше или меньше, нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю. Затем можно будет легко определить какая дробь больше или меньше.
Приведём дроби и к одинаковому (общему) знаменателю. Найдём (НОК) знаменателей обеих дробей. НОК знаменателей дробей и это число 6.
Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Разделим НОК на знаменатель первой дроби . НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 6 на 2, получаем дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:
Теперь найдём второй дополнительный множитель. Разделим НОК на знаменатель второй дроби . НОК это число 6, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем дополнительный множитель 2. Записываем его над второй дробью:
Умножим дроби на свои дополнительные множители:
Мы пришли к тому, что дроби, у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как сравнивать такие дроби мы уже знаем. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше:
Правило правилом, а мы попробуем разобраться почему больше, чем . Для этого выделим целую часть в дроби . В дроби ничего выделять не нужно, поскольку эта дробь уже правильная.
После выделения целой части в дроби , получим следующее выражение:
Теперь можно легко понять, почему больше, чем . Давайте нарисуем эти дроби в виде пицц:
2 целые пиццы и пиццы, больше чем пиццы.
Вычитание смешанных чисел. Сложные случаи.
Вычитая смешанные числа, иногда можно обнаружить, что всё идёт не так гладко, как хотелось бы. Часто случается так, что при решении какого-нибудь примера ответ получается не таким, каким он должен быть.
При вычитании чисел уменьшаемое должно быть больше вычитаемого. Только в этом случае будет получен нормальный ответ.
Например, 10−8=2
10 — уменьшаемое
8 — вычитаемое
2 — разность
Уменьшаемое 10 больше вычитаемого 8, поэтому мы получили нормальный ответ 2.
А теперь посмотрим, что будет если уменьшаемое окажется меньше вычитаемого. Пример 5−7=−2
5 — уменьшаемое
7 — вычитаемое
−2 — разность
В этом случае мы выходим за пределы привычных для нас чисел и попадаем в мир отрицательных чисел, где нам ходить пока рано, а то и опасно. Чтобы работать с отрицательными числами, нужна соответствующая математическая подготовка, которую мы ещё не получили.
Если при решении примеров на вычитание вы обнаружите, что уменьшаемое меньше вычитаемого, то можете пока пропустить такой пример. Работать с отрицательными числами допустимо только после их изучения.
С дробями ситуация та же самая. Уменьшаемое должно быть больше вычитаемого. Только в этом случае можно будет получить нормальный ответ. А чтобы понять больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая, нужно уметь сравнить эти дроби.
Например, решим пример .
Это пример на вычитание. Чтобы решить его, нужно проверить больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая. больше чем
поэтому смело можем вернуться к примеру и решить его:
Теперь решим такой пример
Проверяем больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая. Обнаруживаем, что она меньше:
В этом случае разумнее остановиться и не продолжать дальнейшее вычисление. Вернёмся к этому примеру, когда изучим отрицательные числа.
Смешанные числа перед вычитанием тоже желательно проверять. Например, найдём значение выражения .
Сначала проверим больше ли уменьшаемое смешанное число, чем вычитаемое. Для этого переведём смешанные числа в неправильные дроби:
Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Чтобы сравнить такие дроби, нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю. Не будем подробно расписывать, как это сделать. Если испытываете затруднения, обязательно повторите .
После приведения дробей к одинаковому знаменателю, получаем следующее выражение:
Теперь нужно сравнить дроби и . Это дроби с одинаковыми знаменателями. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше.
У дроби числитель больше, чем у дроби . Значит дробь больше, чем дробь .
А это значит, что уменьшаемое больше, чем вычитаемое
А значит мы можем вернуться к нашему примеру и смело решить его:
Пример 3. Найти значение выражения
Проверим больше ли уменьшаемое, чем вычитаемое.
Переведём смешанные числа в неправильные дроби:
Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Приведем данные дроби к одинаковому (общему) знаменателю:
Теперь сравним дроби и . У дроби числитель меньше, чем у дроби , значит дробь меньше, чем дробь
Две неравные дроби подлежат дальнейшему сравнению для выяснения, какая дробь больше, а какая дробь меньше. Для сравнения двух дробей существует правило сравнения дробей, которое мы сформулируем ниже, а также разберем примеры применения этого правила при сравнении дробей с одинаковыми и разными знаменателями. В заключение покажем, как сравнить дроби с одинаковыми числителями, не приводя их к общему знаменателю, а также рассмотрим, как сравнить обыкновенную дробь с натуральным числом.
Навигация по странице.
Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями
Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями по сути является сравнением количества одинаковых долей. К примеру, обыкновенная дробь 3/7 определяет 3 доли 1/7 , а дробь 8/7 соответствует 8 долям 1/7 , поэтому сравнение дробей с одинаковыми знаменателями 3/7 и 8/7 сводится к сравнению чисел 3 и 8 , то есть, к сравнению числителей.
Из этих соображений вытекает правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями : из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, числитель которой больше, и меньше та дробь, числитель которой меньше.
Озвученное правило объясняет, как сравнить дроби с одинаковыми знаменателями. Рассмотрим пример применения правила сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.
Пример.
Какая дробь больше: 65/126 или 87/126 ?
Решение.
Знаменатели сравниваемых обыкновенных дробей равны, а числитель 87 дроби 87/126 больше числителя 65 дроби 65/126 (при необходимости смотрите сравнение натуральных чисел). Поэтому, согласно правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, дробь 87/126 больше дроби 65/126 .
Ответ:
Сравнение дробей с разными знаменателями
Сравнение дробей с разными знаменателями можно свести к сравнению дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого лишь нужно сравниваемые обыкновенные дроби привести к общему знаменателю .
Итак, чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями, нужно
- привести дроби к общему знаменателю;
- сравнить полученные дроби с одинаковыми знаменателями.
Разберем решение примера.
Пример.
Сравните дробь 5/12 с дробью 9/16 .
Решение.
Сначала приведем данные дроби с разными знаменателями к общему знаменателю (смотрите правило и примеры приведения дробей к общему знаменателю). В качестве общего знаменателя возьмем наименьший общий знаменатель, равный НОК(12, 16)=48
. Тогда дополнительным множителем дроби 5/12
будет число 48:12=4
, а дополнительным множителем дроби 9/16
будет число 48:16=3
. Получаем 
и 
.
Сравнив полученные дроби, имеем . Следовательно, дробь 5/12 меньше, чем дробь 9/16 . На этом сравнение дробей с разными знаменателями завершено.
Ответ:
Получим еще один способ сравнения дробей с разными знаменателями, который позволит выполнять сравнение дробей без их приведения к общему знаменателю и всех сложностей, связанных с этим процессом.
Для сравнения дробей a/b и c/d , их можно привести к общему знаменателю b·d , равному произведению знаменателей сравниваемых дробей. В этом случае дополнительными множителями дробей a/b и c/d являются числа d и b соответственно, а исходные дроби приводятся к дробям и с общим знаменателем b·d . Вспомнив правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, заключаем, что сравнение исходных дробей a/b и c/d свелось к сравнению произведений a·d и c·b .
Отсюда вытекает следующее правило сравнения дробей с разными знаменателями
: если a·d>b·c
, то , а если a·d Рассмотрим сравнение дробей с разными знаменателями этим способом. Пример.
Сравните обыкновенные дроби 5/18
и 23/86
.
Решение.
В этом примере a=5
, b=18
, c=23
и d=86
. Вычислим произведения a·d
и b·c
. Имеем a·d=5·86=430
и b·c=18·23=414
. Так как 430>414
, то дробь 5/18
больше, чем дробь 23/86
.
Ответ:
Дроби с одинаковыми числителями и разными знаменателями, несомненно, можно сравнивать с помощью правил, разобранных в предыдущем пункте. Однако, результат сравнения таких дробей легко получить, сравнив знаменатели этих дробей. Существует такое правило сравнения дробей с одинаковыми числителями
: из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой меньше знаменатель, и меньше та дробь, знаменатель которой больше. Рассмотрим решение примера. Пример.
Сравните дроби 54/19
и 54/31
.
Решение.
Так как числители сравниваемых дробей равны, а знаменатель 19
дроби 54/19
меньше знаменателя 31
дроби 54/31
, то 54/19
больше 54/31
.
Правила сравнения обыкновенных дробей зависят от вида дроби (правильная, неправильная, смешанная дробь) и от знаменателен (одинаковые или разные) у сравниваемых дробей. В этом разделе рассматриваются варианты сравнения дробей, имеющих одинаковые числители или знаменатели. Правило. Чтобы сравнить две дроби с одинаковыми знаменателями, надо сравнить их числители. Больше (меньше) та дробь, у которой числитель больше (меньше). Например, сравнить дроби: Правило. Чтобы сравнить правильные дроби с одинаковыми числителями, надо сравнить их знаменатели. Больше (меньше) та дробь, у которой знаменатель меньше (больше). Например, сравнить дроби: Правило. Неправильная и смешанная дроби всегда больше любой правильной дроби. Правильная дробь но определению меньше 1, поэтому неправильная и смешанная дроби (имеющие в своем составе число, равное или больше 1) больше правильной дроби. Правило. Из двух смешанных дробей больше (меньше) та, у которой целая часть дроби больше (меньше). При равенстве целых частей смешанных дробей больше (меньше) та дробь, у которой больше (меньше) дробная часть. Задачи урока:
Этапы урока:
1. Организационный.
Начнем урок словами французского писателя
А.Франса: “Учиться можно весело….Чтобы
переварить знания, надо поглощать их с
аппетитом”. Последуем этому совету, постараемся быть
внимательными, будем поглощать знания с большим
желанием, т.к. они пригодятся нам в дальнейшем. 2. Актуализация знаний учащихся.
1.)Фронтальная устная работа учащихся. Цель: повторить пройденный материал,
требующийся при изучении нового: А) правильные и неправильные дроби; (Проводится работа с файлами. Учащиеся имеют их
в наличии на каждом уроке. На них пишут ответы
фламастером, а за тем ненужная информация
стирается.) Задания для устной работы.
1. Назвать лишнюю дробь среди цепочки: А) 5/6; 1/3; 7/10; 11/3; 4/7. 2. Привести дроби к новому знаменателю 30: 1/2; 2/3; 4/5; 5/6; 1/10. Найти наименьший общий знаменатель дробей: 1/5 и 2/7; 3/4 и 1/6; 2/9 и 1/2. 2.) Игровая ситуация. Ребята, наш знакомый клоун (учащиеся
познакомились с ним в начале учебного года)
попросили меня помочь решить ему задачу. Но я
считаю, что вы, ребята, сможете без меня помочь
нашему другу. А задача следующая. “Сравнить дроби: а) 1/2 и 1/6; Ребята, чтобы помочь клоуну, чему мы должны
научиться? Цель урока, задачи (учащиеся формулируют
самостоятельно). Учитель помогает им, задавая вопросы: а) а какие из пар дробей мы сможем уже сравнить? б) какой инструмент для сравнения дробей нам
необходим? 3. Ребята в группах (в постоянных
разноуровневых). Каждой группе выдается задание и инструкция к
его выполнению. Первая группа:
Сравнить смешанные дроби: а) 1 1/2 и 2 5/6; и вывести правило равнения смешанных дробей с
одинаковыми и с разными целыми частями. Инструкция: Сравнение смешанных дробей (используется числовой луч) Вторая группа: Сравнить дроби с разными
знаменателями и разными числителями.
(использовать числовой луч) а) 6/7 и 9/14; Инструкция Третья группа: Сравнение дробей с единицей. а)2/3 и 1; Инструкция Рассмотрите все случаи: (используйте числовой
луч) а) Если числитель дроби равен знаменателю,
………; Сформулируйте правило. Четвертая группа: Сравните дроби: а) 5/8 и 3/8; Инструкция Используйте числовой луч. Сравните числители и сделайте вывод, начиная
словами: “Из двух дробей с одинаковыми
знаменателями……”. Пятая группа: Сравните дроби: а) 1/6 и 1/3; 0__.__.__1/6__.__.__1/3__.__.4/9__.__.__.__.__.__.__.__.__.__1__.__.__.__.__.__4/3__.__ Сформулируйте правило сравнения дробей с
одинаковыми числителями. Инструкция Сравните знаменатели и сделайте вывод, начиная
со слов: “Из двух дробей с одинаковыми
числителями………..”. Шестая группа: Сравните дроби: а) 4/3 и 5/6; б) 7/2 и 1/2, используя числовой луч 0__.__.__1/2__.__5/6__1__.__4/3__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__7/2__.__ Сформулируйте правило сравнения правильных и
неправильных дробей. Инструкция. Подумайте, какая дробь всегда больше,
правильная или неправильная. 4. Обсуждение выводов, сделанных в группах. Слово каждой группе. Формулировка правил
учащихся и сравнение их с эталонами
соответствующих правил. Далее выдаются
распечатки правила сравнения различных видов
обыкновенных дробей каждому учащемуся. 5. Возвращаемся к задаче, поставленной в начале
урока. (Решаем задачу клоуна вместе). 6. Работа в тетрадях. Используя правила
сравнения дробей, учащиеся под руководством
учителя сравнивают дроби: а) 8/13 и 8/25; (возможно приглашение ученика к доске). 7. Учащимся предлагается выполнить тест по
сравнению дробей на два варианта. 1 вариант.
1) сравнить дроби: 1/8 и 1/12 а) 1/8 > 1/12; 2) Что больше: 5/13 или 7/13? а) 5/13; 3) Что меньше: 2\3 или 4/6? а) 2/3; 4) Какая из дробей меньше 1: 3/5; 17/9; 7/7? а) 3/5; 5) Какая из дробей больше 1: ?; 7/8; 4/3? а) 1/2; 6) Сравнить дроби: 2 1/5 и 1 7/9 а) 2 1/5<1 7/9; 2 вариант.
1) сравнить дроби: 3/5 и 3/10 а) 3/5 > 3/10; 2) Что больше: 10/12или1/12? а) равны; 3) Что меньше: 3/5 или 1/10? а) 3/5; 4) Какая из дробей меньше 1: 4/3;1/15;16/16? а) 4/3; 5) Какая из дробей больше 1: 2/5;9/8 ;11/12 ? а) 2/5; 6) Сравнить дроби: 3 1/4 и 3 2/3 а) 3 1/4=3 2/3; Ответы к тесту: 1 вариант: 1а, 2б, 3в, 4а, 5б, 6а 2 вариант: 2а, 2б, 3б, 4б, 5б, 6в 8. Еще раз возвращаемся к цели урока. Проверяем правила сравнения и даем
дифференцированное домашнее задание: 1,2,3 группы – придумать на каждое правило
сравнение по два примера и решить их. 4,5,6 группы - №83 а,б,в, №84 а,б,в (из учебника). Сравнивают дроби обычно для того, чтобы узнать, какая больше, а какая меньше. Чтобы сравнить дроби, вам нужно привести их к одному знаменателю, тогда дробь с большим числителем большая, а с меньшим - меньшая. Самое сложное - это уяснить, как делать так, чтобы дроби имели одинаковые знаменатели, но все не так сложно, как кажется. Мы расскажем, как все это делать. Читайте дальше! Узнайте, какие у дробей знаменатели - одинаковые или нет.
Знаменатель - это число под дробной линией, внизу, а числитель - вверху. Например, у дроби 5/7 и 9/13 не одинаковые знаменатели. Вам нужно привести их к одному знаменателю.
Найдите общий знаменатель.
Чтобы сравнить дроби, прежде всего нужно найти общий знаменатель. Это нужно для сравнения, а также для проведения математических действий с дробями, сложения, вычитания и так далее. В случае сложения или вычитания необходимо искать наименьший общий знаменатель . Однако в данном случае (сравнение дробей) можно лишь умножить знаменатели обеих дробей, и получившееся число будет общим знаменателем. Помните, этот способ нахождения общего знаменателя работает ТОЛЬКО при сравнении дробей (а не сложении, вычитании, и так далее)
Измените числители дробей.
Когда вы найдете общий знаменатель, в данном случае это 91, вам нужно будет изменить числители, чтобы значение дроби осталось тем же. Для этого нужно умножить числители одной дроби на знаменатель второй, а числитель второй на знаменатель первой. Вот так:
Сравнение дробей с одинаковыми числителями
Сравнение правильных, неправильных и смешанных дробей между собой
Б) приведение дробей к новому знаменателю;
В) нахождение наименьшего общего знаменателя;
Б) 2/6; 6/18; 1/3; 4/5; 4/12.
б) 3/5 и 1/3;
в) 5/6 и 1/6;
г) 12/7 и 4/7;
д) 3 1/7 и 3 1/5;
е) 7 5/6 и 3 1/2;
ж) 1/10 и 1;
з) 10/3 и 1;
и) 7/7 и 1.”
б) 3 1/2 и 3 4/5
б) 5/11 и 1/22
б) 8/7 и 1;
в)10/10 и 1 и сформулировать правило.
б) Если числитель дроби меньше знаменателя,………;
в) Если числитель дроби больше знаменателя,……….
.
б) 1/7 и 4/7 и сформулируйте правило сравнения
дробей с одинаковым знаменателем.
б) 4/9 и 4/3, используя числовой луч:
б)11/42 и 3/42;
в)7/5 и 1/5;
г) 18/21и 7/3;
д) 2 1/2 и 3 1/5 ;
е) 5 1/2 и 5 4/3;
б) 1/8 <1/12;
в) 1/8=1/12
б) 7/13;
в) равны
б) 4/6;
в) равны
б) 17/9;
в) 7/7
б) 7/8;
в) 4/3
б) 2 1/5 = 1 7/9;
в) 2 1/5 >1 7/9
б) 3/5<3/10;
в) 3/5=3/10
б) 10/12;
в) 1/12
б) 1/10;
в) равны
б) 1/15;
в) 16/16
б) 9/8;
в) 11/12
б) 3 1/4 > 3 2/3;
в) 3 1/4 < 3 2/3
Шаги